Решение задачи 12. Вариант 363

а) Решите уравнение ​\( (cosx-sinx)^2+\sqrt{2}sin(\frac{3\pi}{4}-2x)+\sqrt{3}cosx=0 \)

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [​\( -\frac{4\pi}{3};-\frac{2 \pi}{3} \)​]

Решение

\( (cosx-sinx)^2=cos^2x-2sinxcosx+sin^2x=1-sin2x \)

\( sin(\frac{3\pi}{4}-2x)=sin\frac{3\pi}{4}*cos2x-sin2x*cos\frac{3\pi}{4}= \)

\( =\frac{\sqrt{2}}{2}cos2x+\frac{\sqrt{2}}{2}sin2x \)

Теперь преобразованное уравнение будет выглядеть так

\( cos2x+\sqrt{3}cosx+1=0 \)

\( 2cos^2x-1+\sqrt{3}cosx+1=0 \)

\( cosx(2cosx+\sqrt{3})=0 \)

 

\( cosx=0 \)

\( cosx=-\frac{\sqrt{3}}{2} \)

 

\( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \)

\( x=±\frac{5\pi}{6}+2\pi n \)

Б)

\( x=-\frac{5\pi}{6} \)

\( x=-\pi-x=-\frac{\pi}{6}=-\frac{7\pi}{6} \)

Ответ: а) ​\( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \)​,​\( x=±\frac{5\pi}{6}+2\pi n \)​ б) \( x=-\frac{7\pi}{6},-\frac{5\pi}{6} \)

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить