Решение задачи 19. Вариант 339

На сайте выложено k видеоуроков по математике продолжительностью ровно 1мин., 2 мин., 3 мин., …, k мин. Виктор хочет за несколько дней посмотреть их все ровнопо одному разу, затрачивая на это ровно полчаса каждый день. (Смотреть видеоурокиможно в любом порядке, но обязательно полностью).
а) Возможно ли это при k = 15?
б) Возможно ли это при k = 10?
в) Найдите все натуральные k, при которых это возможно.

Решение

а) всего минут уроков -это сумма арифметической прогрессии ​\( S=\frac{1+15}{2}*15=120 \)​ минут

Достаточно просто привести пример (очевидно, что этот вариант подходит)

1 день посмотрит уроки по 11,10,9 минут

2 день: 15,14,1

3 день: 13,12,5

4 день: 2,3,4,6,7,8

Всего 120 минут

б) ​\( S=\frac{1+10}{2}*10=55 \)​ минут (тут нецелое число, очевидно, что нельзя). Т.к он каждый день собирается тратить по пол часа, то с k=10 такое невозможно

в) ​\( S=\frac{1+k}{2}k=30n \)​ и ​\( k<=30 \)​ (не может тратить больше 30 минут каждый день)

\( k(k+1)=60n \)

Осталось только подобрать ​\( k \)​, правая часть делится на 5, значит нужно подбирать чтобы левая часть тоже делилась на 5

При k=4 ​\( 4*5=60n \)​ — делится на 5

\( k=5,9,10,14,15,19,20,24,25,29 \)

Теперь осталось проверить

\( k=4 \)​ время​\( 4*5=20 \)​ минут — это, очевидно, не подходит, т.к не кратно 60

\( k=5 \)​время ​\( 5*6=30 \)​  минут — тоже не подходит, не кратно 60

\( k=9,10,14 \)​ — аналогично не подходят

\( k=15 \)​ время ​\( 15*16=240 \)​ — кратно 60, подходит

остальные случаи рассматриваем аналогично, я лишь запишу ответ

Ответ: а) да б) нет в) ​\( k=15,20,24 \)

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить