Решение задачи 19. Вариант 335
Имеется m одинаковых шоколадок, которые можно разделить поровну на n школьников. Каждую шоколадку разрешается разломить не более одного раза (необязательно на равные части).
а) Возможно ли требуемое при m = 18, n = 27?
б) Возможно ли требуемое при m = 18, n = 28?
в) При каких n требуемое возможно, если m = 14?
Решение
Пусть школьник получит \( z \) долю шоколадки
Тогда проверяем пункт а) \( m=n*z \), \( 18=27*z \) или \( z=\frac{2}{3} \) – доля 1-ой шоколадки для 1-го школьника.
Т.е нам нужно, чтобы каждый школьник получил \( \frac{2}{3} \)доли шоколадки, возможно ли это?
Достаточно привести пример:
Можно дать 18 школьникам по \( \frac{2}{3} \) доли шоколадок, но еще же остаются \( \frac{1}{3} \) остатки от шоколадок. Всего 18 остатков \( \frac{1}{3} \) доли шоколадки. Их можно собрать в пары \( \frac{1}{3}+\frac{1}{3} \), как раз нам хватит этого для оставшихся 9 школьников
б) \( z=\frac{18}{28}=\frac{9}{14} \)
Рассуждаем аналогично, можем дать 18 школьникам по \( \frac{9}{14} \) шоколадки, но остаются 18 долей по \( \frac{5}{14} \), нам нужно их поровну распределить между школьниками. Эти остатки мы ни как не можем собрать в \( \frac{9}{14} \), чтобы это сделать их придется ломать еще раз, что нам по условию неразрешено.
в) \( z=\frac{14}{n} \)
Рассуждаем аналогично:) Можем дать 14 школьникам по \( \frac{14}{n} \) долей, остаются остатки \( 1-\frac{14}{n} \), так как мы должны дать школьникам равные части, то можно составить уравнение, мы должны собрать в пары наши остатки, пусть мы дадим \( k \) таких остатков каждому школьнику
\( k*(1-\frac{14}{n})=\frac{14}{n} \)
\( n=\frac{14*(k+1)}{k} \)
Так как n-целое, то \( k \) – должно быть делителем числа 14. k может быть равно \( k=1,2,7,14 \)
Возьмем \( k=1 \), \( n=21 \), \( z=\frac{14}{21}=\frac{2}{3} \)
Тут нужно провести аналогичные рассуждения двум предыдущим пунктам. Для 14 школьников можем дать \( \frac{2}{3} \) шоколадки, собираем остатки в пары \( \frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \) и даем это остальным 7
Делаем аналогичные рассуждения с остальными возможными случаями
Ответ: а) да б) нет в) \( n=21,28,16,15 \)