Решение задачи 13. Вариант 332

а) Решите уравнение ​\( 10cos^2\frac{x}{2}=\frac{11+5ctg(\frac{3\pi}{2}-x)}{1+tgx} \)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-2pi;-1,5pi)

Решение

ОДЗ

\( tgx≠-1 \)​. ​\( x≠-\frac{\pi}{4}+\pi n \)

\( cosx≠0 \)​, ​\( x≠\frac{\pi}{2}+\pi n \)

Вспоминая формулы половинного угла и приведения, можно преобразовать уравнение

\( 10\frac{1+cos2x}{2}=\frac{11+5tgx}{1+tgx} \)

\( 5(1+cosx)(1+tgx)=11+5tgx \)

\( 5sinx+5cosx=6 \)

\( sinx+cosx=\frac{6}{5} \)

Тут стандартное уравнение на метод вспомогательного угла, делим все уравнение на ​\( \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \)

\( \frac{1}{\sqrt{2}}=sin\frac{\pi}{4}=cos\frac{\pi}{4} \)

\( sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{6}{5\sqrt{2}} \)

 

\( x+\frac{\pi}{4}=arcsin\frac{3\sqrt{2}}{5}+2\pi n \)

\( x+\frac{\pi}{4}=\pi-arcsin\frac{3\sqrt{2}}{5}+2\pi n \)

 

\( x=arcsin\frac{3\sqrt{2}}{5}-\frac{\pi}{4}+2\pi n \)

\( x=\frac{3\pi}{4}-arcsin\frac{3\sqrt{2}}{5}+2\pi n \)

Б) Тут на самом деле, легче всего решить через тригонометрическую окружность.

Не надо супер точно пытаться вычислить где находятся наши точки, нужно лишь примерно понимать где они. ​\( \frac{3\sqrt{2}}{5} \)​ — дост большое число, т.е угол будет чуть меньше 90°

Тогда можно с легкостью отобрать корни

Ответ:а) ​\( x=arcsin\frac{3\sqrt{2}}{5}-\frac{\pi}{4}+2\pi n \)​,​\( x=\frac{3\pi}{4}-arcsin\frac{3\sqrt{2}}{5}+2\pi n \)

б)  ​\( x=-acrsin\frac{3\sqrt{2}}{5}-\frac{5\pi}{4},acrsin\frac{3\sqrt{2}}{5}-\frac{9\pi}{4} \)​,

Вопросы по решению

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить