Решение задачи 13. Вариант 320

а) Решите уравнение ​\( \sqrt{sinx-cosx}(ctgx-\sqrt{3})=0 \)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [1,5pi;3pi]

Решение

ОДЗ
\( sinx-cosx>=0 \)​ (1)

\( sinx≠0 \)​ (2)

 

1) Воспользуемся стандартным приемом домножим все неравенство на ​​\( \frac{1}{\sqrt{2}} \)

\( sinx*\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}cosx>=0 \)

\( sinx*cos\frac{\pi}{4}-sin\frac{\pi}{4}cosx>=0 \)

\( sin(x-\frac{\pi}{4})>=0 \)

\( 2\pi n<=x-\frac{\pi}{4}<=\pi+2\pi n \)

\( \frac{\pi}{4}+2\pi n<=x<=\frac{5\pi}{4}+2\pi n \)

 

(2) ​\( x≠\pi n \)

 

Находим корни уравнения

\( sinx-cosx=0 \)​  — по той же схеме)

\( ctgx=\sqrt{3} \)

 

\( sin(x-\frac{\pi}{4})=0 \)

\( x=\frac{\pi}{4}+\pi n \)

 

\( x=\frac{\pi}{6}+\pi n \)

НО не забываем учесть ОДЗ ​\( \frac{\pi}{4}+2\pi n<=x<=\frac{5\pi}{4}+2\pi n \)

Получаем

\( x=\frac{\pi}{4}+\pi n \)

\( x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n \)

 

Б)

Ответ: а) ​\( x=\frac{\pi}{4}+\pi n \)​, ​\( x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n \)​ б) ​\( x=\frac{9\pi}{4} \)

Вопросы по решению

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить