Решение задачи 8. Вариант 316

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой АВ1и плоскостью АВС1. Ответ дайте в градусах.

Решение

Проведем перпендикуляр BH на BC1, BH-перпендикулярна всей плоскости (AD1C1B), т.к плоскость ABC1 содержится в ней, то и BH перпендикулярна ABC1

Угол между прямой и плоскостью — это угол между проекцией прямой на эту плоскость и самой прямой

Искомый угол ​\( ∡B1AH \)​ (AH-проекция)

Пусть сторона куба ​\( a \)

найдем все стороны этого треугольника

\( B1H \)​ — это 1/2 диагонали квадрата \( B1H=\frac{a\sqrt{2}}{2} \)

\( AB1=\sqrt{2}a \)​ — диагональ квадрата

\( AH=\sqrt{AO^2+HO^2} \)

\( HO=\frac{a}{2} \)

\( AO=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{5}a}{2} \)

Значит ​\( AH=\frac{\sqrt{6}a}{2} \)

По т косинусов

\( cos∡B1AH=\frac{AH^2+AB1^2-B1H^2}{2*AH*AB1} \)

Подставляем все в формулу ​\( cos∡B1AH=\frac{\sqrt{3}}{2} \)​ значит ​\( ∡B1AH=30 \)

Ответ: 30

Вопросы по решению

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить