Решение задачи 19. Вариант 284

Даны натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию n >= 3
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?
б) Каково наибольшее значение n , если сумма всех данных чисел меньше 1000?
в) Найдите все возможные значения n , если сумма всех данных чисел равна 129.

Решение

а) ​\( S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})}{2}n=10 \)

\( a_{1}+a_{n}=\frac{20}{n} \)

\( 2a_{1}+d(n-1)=\frac{20}{n} \)

\( n \)​ — целые числа, значит ​\( n=2,4,5,20 \)

Тут просто нужно привести какой-нибудь пример, допустим ​\( n=4 \)

\( 2a_{1}+3d=5 \)​ —  очевидно, что ​\( a_{1}=1 \)​ и ​\( d=1 \)

б) Сумму находим также

\( 2a_{1}+(n-1)d<\frac{2000}{n} \)

Тут уже нужна логика: Чтобы ​\( n \)​ была наибольшей, нужно, брать наименьшие ​\( a_{1} \)​ и ​\( d \)​, возьмем их равной 1 — это наименьшее натуральное число

\( 2+n-1<\frac{2000}{n} \)

\( n^2+n-2000<0 \)

Найдем корни этого уравнения:

\( x=\frac{-1-3\sqrt{889}}{2} \)

\( x=\frac{-1+3\sqrt{889}}{2} \)

Эти корни нужно оценить, ​\( 29<\sqrt{889}<30 \)

\( x=\frac{-1-3*30}{2}=-45,5 \)

\( x=\frac{-1+3*30}{2}=44,5 \)

Получаем решение неравенства ​\( (-45,5;44,5) \)​ —  наибольшее натуральное число из этого интервала  —  44

\( n=44 \)

в)   \( 3a_{1}+d(n-1)=\frac{258}{n} \)

\( n=3,6,43,86,129,258 \)​ (по условию n>=3)

Пусть ​\( n=3 \)

\( 2a_{1}+2d=86 \)

\( a_{1}+d=43 \)

\( a_{1}=37 \)​, а ​\( d=3 \)​ — подобрали пример

Пусть ​\( n=6 \)

\( 2a_{1}+5d=43 \)

\( a_{1}=19 \)​, а ​\( d=1 \)​ — подобрали пример

Пусть ​\( n=43 \)

\( 2a_{1}+42d=6 \)

\( a_{1}+21d=3 \)​ —  тут уже не может подобрать пример, т.к ​\( a_{1},d \)​ — натуральные числа.

Если рассматривать дальше, то получается аналогичная ситуация:) На ЕГЭ расписываем все полносью

Ответ: а) да б) 44, в) 3,6

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить