Решение задачи 13. Вариант 282

а) Решите уравнение  ​\( sin2x+\sqrt{2cosx-2cos^3x}=0 \)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-pi,-pi/6]

Решение

ОДЗ: ​\( sin2x≤0 \)​ —  это 2 и 4 четверть на тригонометрической окружности

Возведем обе части в квадрат

\( (2sinx*cosx)^2=2cosx-2cos^3x \)

\( 4cos^2x*(1-cos^2x)=2cosx-cos^3x \)

Пусть ​\( cosx=t \)​, где ​\( -1≤t≤1 \)

\( 4t^2(1-t^2)=2t-2t^3 \)

\( (1-t^2)(2t^2-t)=0 \)

\( (t+1)(t-1)(2t-1)t=0 \)

Делаем обратную замену

\( cosx=-1 \)​ значит ​\( x=\pi+2 \pi n \)

\( cosx=0 \)​ значит ​\( x=\frac{\pi }{2}+\pi n \)

\( cosx=1 \)​ значит  ​\( x=2 \pi n \)

\( cosx=0,5 \)​ значит  ​\( x=±\frac{\pi }{3}+2\pi n \)

По ОДЗ нам подходит только

\( x=\pi+2 \pi n \)​, \( x=\frac{\pi }{2}+\pi n \)​, \( x=2 \pi n \)​, \( x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n \)

Б)

 

\( x=-\pi,-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3} \)

Ответ: а)​\( x=\pi+2 \pi n \)​,\( x=\frac{\pi }{2}+\pi n \)\( x=2 \pi n \) \( x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n \)

б) ​\( x=-\pi,-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3} \)

P.S Если понравилось решение или что-то не было понятно, то пиши комментарий ниже, мне будет приятно:)​

Решение задачи 13. Вариант 282: 2 комментария

  • 05.11.2019 в 11:05
    Permalink

    Скажите, почему одз sin2x<=0?

    Ответ
    • 05.11.2019 в 12:31
      Permalink

      Мы переносим sin2x в правую часть, в итоге будет
      √(2cosx-2cos^3x)=-sin2x
      Здесь в качестве ограничений нам достаточно сказать, что -sin2x>=0
      Тогда sin2<=0 (если домножим на -1) Тогда наш корень будет положителен.

      Ответ

Вопросы по решению

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить