Решение задачи 13. Вариант 274

а) Решите уравнение ​\( 6tg^2x-2cos^2x=cos2x \)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2,5π;-0,5π]

Решение

\( 6tg^2x-2cos^2x=2cos^2x-1 \)

\( 6tg^2x=4cos^4x-1 \)

Вспомним: ​\( cos^2x+sin^2x=1 \)​ поделим на ​\( cos^2x≠0 \)

\( tg^2x+1=\frac{1}{cos^2x} \)

\( tg^2x=\frac{1}{cos^2x}-1 \)

подставим в уравнение

\( \frac{6}{cos^2x}-6=4cos^2x-1 \)​ умножим на ​\( cos^2x≠0 \)

и пусть ​\( cos^2x=t \)​, где ​\( t∈[0;1] \)

\( 6-4t^2=5t \)

\( t=-2 \)​ – не подходит

\( t=\frac{3}{4} \)

Делаем обратную замену

\( cos^2x=\frac{3}{4} \)

\( cosx=±\frac{\sqrt{3}}{2} \)

 

\( x=±\frac{\pi}{6}+2 \pi n \)

\( x=±\frac{5 \pi}{6}+2 \pi n \)

или

\( x=±\frac{\pi}{6}+\pi n \)

Б) Тут легко отобрать на окружности

\( x=-2 \pi -\frac{\pi}{6}=-\frac{13 \pi}{6} \)

\( x=-2 \pi +\frac{\pi}{6}=-\frac{11 \pi}{6} \)

\( x=-\pi -\frac{\pi}{6}=-\frac{7 \pi}{6} \)

\( x=-\pi +\frac{\pi}{6}=-\frac{5 \pi}{6} \)

Ответ: а)​\( x=±\frac{\pi}{6}+\pi n \)​ б) ​\( x=-\frac{13 \pi}{6}, -\frac{11 \pi}{6}, -\frac{7 \pi}{6}, -\frac{5 \pi}{6}  \)

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить