Решение задачи 17. Вариант 218

В начале рабочего дня на некотором предприятии был подключен генератор A,
мощность которого зависела от времени работы ​\( P_{a}=\frac{20}{t+5} \)​Квт. Когда мощность
упала в два раза, генератор заменили на более совершенный генератор B, мощность
которого также зависела от времени работы ​\( P_{b}=\frac{48}{t+8} \)​ кВт. Сколько всего
энергии (кДж) выработали генераторы в течение восьмичасового рабочего дня?

Решение

Всем известная формула из физики

\( A=p*t \)​,  A-работа (энергия), p- мощность (постоянная), t-время.

Когда мощность меняется со временем, то мы будем использовать интеграл для вычисления работы. Попробуйте нарисовать график зависимости P от t, и площадь под графиком (в нашем случае под криволинейной трапецией) это и будет работа.

\( \int\limits_a^bP(t)dt=A \)

\( \int\limits_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) \)​ F-это первообразная функции.

\( f(t)=\frac{1}{t+5}, F(t)=ln(t+5) \)​ – напоминаю, как находится первообразная.

В начальный момент времени t=0 работал первый генератор, найдем какова была мощность

\( P_{a}=\frac{20}{5}=4 \)​ Квт

По условию мощность упала в два раза (стала 2 Квт), и тогда подключили генератор B, найдем момент времени когда это произошло

\( P_{a}=\frac{20}{t+5}=2 \)​ отсюда ​\( t=5 \)​, то есть первый генератор работал пять часов.

\( \int\limits_0^5P_{a}dt=A_{a} \)​ – это работа (энергия) первого генератора, причем мы ее уже в состоянии вычислить:)

\( \left.20ln(t+5)\right|_0^5=20*(ln(10)-ln(5))=20*ln(2) \)​ –  вот работа (энергия) совершенная первым генератором.

Теперь разбираемся со вторым. У нас восьмичасовой рабочий день, значит второй генератор B, работал всего три часа. И его работа вычисляется

\( \int\limits_0^3P_{b}dt=\left.48ln(t+8)\right|_0^3=48*(ln(11)-ln(8))=48*ln(\frac{11}{8}) \)​ – это работа второго генератора.

Значит вся энергия будет равна ​\( 20ln2+48ln(\frac{11}{8}) \)

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить