Решение задачи 4. Вариант 383
Вычислить: \( tg9°-tg63°+tg81°-tg27° \)
Решение
Рассмотрим выражение
\( tg\alpha+tg\beta=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+\frac{sin\beta}{cos\beta}=\frac{sin\alpha cos\beta+sin\beta cos\alpha}{cos\alpha cos\beta}= \)
\( =\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos\alpha cos \beta} \)
Итоговая формула
\( tg\alpha±tg\beta=\frac{sin(\alpha±\beta)}{cos\alpha cos\beta} \)
Используя ее можно преобразовать наше выражение
\( \frac{sin90°}{cos9° cos81°}-\frac{sin90°}{cos63° cos27°}= \)
\( =\frac{1}{cos9° cos(90°-9°)}-\frac{1}{cos(90°-27°) cos27°}= \)
\( =\frac{1}{sin9°cos9°}-\frac{1}{sin27° cos27°}= \)
\( =\frac{2}{sin18°}-\frac{1}{sin54°}= \)
\( 2\frac{sin54°-sin18°}{sin54°sin18°}=2\frac{2sin18°cos36°}{sin54°sin18°}=4\frac{cos(90°-54°)}{sin54°}=4 \)
Ответ: 4