Числа на доске

На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −4, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 5, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −5.

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б) Каких чисел на­пи­са­но больше: по­ло­жи­тель­ных или отрицательных?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?

Решение этой задачи есть на сайте Решу ЕГЭ, но для многих это решение непонятное, поэтому я предложу другой, понятный вариант решения этой задачи. Надеюсь, что вы ее поймете. Решение может показаться примитивным, но зато оно понятное:)

Итак, всего чисел может быть  [41;47] или (40;48) – тоже самое.

ДОПУСТИМ! Пусть на доске написано 42 числа, это может быть не обязательно 42,  мы действуем подбором.

42 числа – могут быть положительными, отрицательными или ноликами.

Пусть:

​\( Z \)​ –  все числа

​\( k \)​- положительные числа

​\( L \)​-отрицательные числа

​\( m \)​-ноль

Опять же, пусть

20 положительный чисел (k)

20 отрицательных чисел (L)

2 нолика (m)

Можно сделать и по другому, 21-k, 20-L, 1-m. Вообщем как хотите, я взял для определенности предыдущие числа.

Тогда по условию имеем.

​\( \frac{Z_{1}+…+Z_{42}}{42}=-4 \)​ значит ​\( Z_{1}+…+Z_{42}=-168 \)​

​\( \frac{k_{1}+…+k_{20}}{20}=5 \)​ тогда ​\( k_{1}+…+k_{20}=100 \)​ – сумма положительных

​\( \frac{L_{1}+…+L_{20}}{20}=-5 \)​ тогда ​\( L_{1}+…+L_{20}=-100 \)​ – сумма отрицательных

От ноликов у нас ничего не изменится, плюс ноль или минус ноль будет одно и тоже выражение.

Если мы добавим одно положительное число, то у нас будет 21 положительных чисел, 20 отрицательных и 1 нолик. И сумма всех чисел будет равна 5

Сумма положительных чисел станет ​\( k_{1}+…+k_{21}=105 \)​ – то есть при добавление или уменьшение положительных чисел их сумма будет изменятся на 5.

Тоже самое и с отрицательными, если добавим одно отрицательное число, то их сумма будет равна -105, то есть изменилась на 5.

То есть наш “шаг”  равен 5.

НО СУММА ЧИСЕЛ должна равняться -168!!!  А 168 число не кратное 5, поэтому мы никак в данном случае не сможет подобрать положительные и отрицательные числа. Делаем вывод, что 42 – не подходит.

Но это не самое главное, что нужно понять. Таким образом, мы выяснили, что на доске должны быть написаны числа, которые будут кратны 5, а по другому никак.!

А это из 41-47, будет только 45!

Ответ на первый вопрос 45.

б) Мы выяснили, что чисел на доске 45, тогда

​\( Z_{1}+…+Z_{45}=-180 \)​

Пусть (подбор))

Положительных чисел 4, а отрицательных 40, тогда ноликов 1. –  их сумма равна -180

Положительных 2, а отрицательных 38, тогда ноликов 4 – их сумма равна -180

Положительных  0, а отрицательных 36, тогда ноликов 8 – их сумма равна -180.

Если мы переберем все возможные комбинации (их немного), то можно сделать вывод.

Видно, что ВСЕГДА больше отрицательных, наибольшее количество положительных чисел 4!

Пункт Б отрицательных

Пункт В  4