Решение задачи 19. Вариант 212

19.  Даны n   ( n>=3)  различных  натуральных  чисел,  составляющих  арифметическую
прогрессию.
А) Может ли сумма всех данных чисел равняться 22?
Б) Может ли сумма всех данных чисел равняться 23?
В) Найдите все возможные значения  n , если сумма всех данных чисел равна 48.

Ответим на пункт А

​​\( Sn=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}*n=22 \)

\( a_{1}+a_{n}=\frac{44}{n} \)

Вспоминаем, что ​\( a_{n}=a_{1}+(n-1)d \)

По условию сумма a1+an- натуральные числа, подберем такие n, тем более что их не так уж и много.

n=4,11,44

Проверяем

\( a_{1}+a_{n}=11 \)

\( a_{1}+a_{1}+3d=2a_{1}+3d=11 \)

Не трудно подобрать такие a1 и d, Пусть a1=1 Тогда d=3

Получаем прогрессию члены которой равны,  1 4 7 10 — и их сумма как раз 22

То есть пунк А верен.

Пункт Б

Делаем аналогично

\( Sn=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}*n=23 \)

\( a_{1}+a_{n}=\frac{46}{n} \)

Делителей 46 не так много, нам нужны натуральные числа. n=23,2. Но 2 нам не подходит по условию, поэтому только 23

\( 2a_{1}+22d1=2 \)

Очевидно, что натуральных чисел подходящих нам нету.

Пункт В

\( 2a1+d(n-1)=\frac{96}{n} \)

Ищем делители, n=3,4,6,8,12,16,24,32,48

И проверяем каждое на справедливость

Пусть n=3

\( 2a_{1}+2d=32 \)​ или ​\( a_{1}+d=16 \)​ в натуральных числах данное уравнение решается

Пусть n=4

\( 2a_{1}+3d=24 \)​ Опять же в натуральных числах данное уравнение решается. (d=2, а a1=9)

Пусть n=6

\( 2a_{1}+5d1=16 \)​ — ​\( a_{1}=8-2.5d \)​ (d=2, a1=3) решается.

Далее если подставлять, то решения уже не будет, проверьте это самостоятельно.

Ответ: 3,4,6

 

Вопросы по решению

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить