Решение задачи 13. Вариант 288

а) Решите уравнение ​\( (\sqrt{2}^{sin^2x+\sqrt{cosx}})^2+2^{cos^2x+\sqrt{cosx}}=3*2^{\sqrt{cosx}} \)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5,5pi;-4pi]

Решение

Ограничения: ​\( cosx≥0 \)

\( 2^{sin^2x+\sqrt{cosx}}+2^{cos^2x+\sqrt{cosx}}=3*2^{\sqrt{cosx}} \)

\( 2^{\sqrt{cosx}}(2^{sin^2x}+2^{cos^2x}-3)=0 \)

\( 2^{cosx}(2^{sin^2x}+2^{1-sin^2x}-3)=0 \)

\( 2^{\sqrt{cosx}}=0 \)​ — нет решений, т.к показательная функция всегда строго больше нуля.

или

\( 2^{sin^2x}+2^{1-sin^2x}-3=0 \)

сделаем замену на ​\( 2^{sin^2x}=t \)​, ​\( t>0 \)

\( t+\frac{2}{t}-3=0 \)​ — смело умножаем все на t

\( t^2-3t+2=0 \)

\( t=1 \)

\( t=2 \)

Обратная замена

\( 2^{sin^2x}=1 \)

\( 2^{sin^2x}=2 \)

Получаем

\( sin^2x=0 \)

\( sin^2x=1 \)

Значит

\( sinx=0 \)

\( sinx=1 \)

\( sinx=-1 \)

Тогда

\( x=\pi n \)

\( x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \)

\( x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \)

Объединим две серии в одну

\( x=\pi n \)​ — тут не все точки удовлетворяют нашему ограничению

\( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \)

Так как cos положителен в 1 и 4 четверти, то ответ перепишется в следующем виде

\( x=2\pi n \)

\( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \)

Б) Легко отобрать на тригонометрической окружности

\( x=-\frac{11\pi}{2} \)

\( x=-\frac{9\pi}{2} \)

\( x=-4\pi \)

Ответ: а) ​\( x=2\pi n \) ,​\( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \)​ б)​\( x=-\frac{11\pi}{2} \)​,​\( x=-\frac{9\pi}{2} \)​,

\( x=-4\pi \)

Вопросы по решению

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить