Решение задачи 18. Вариант 282

При каких значениях параметра уравнение x^4-8x^3-2x^2+24x+a=0 имеет ровно 3 различных корня?

Решение

Преобразуем

\( (x-2)^4=26x^2-56x+16-a \)

Построим график функции ​\( y=(x-2)^4 \)​ и будем строить параболу в зависимости от а ​\( y=26x^2-56x+16-a \)

Графики будут пересекаться в трех точках в том случае, когда они пересекаются в двух точках и касаются друг друга.

Рассмотрим функцию ​\( g(x)=26x^2-56x+16-a \)​ . Найдем их производные функций:

\( y’=4(x-2)^3 \)

\( g'(x)=26*2x-26 \)

 

Пусть x_0 — абсцисса точки касания двух графиков, тогда y'(x_0)=4(x_0-3)^3 и ​\( g'(x)=26*2x_{0}-56 \)​. Приравнивая функции, получим

4(x_0-2)^3=26\cdot 2x_0-56~~~|;4\\ \\ (x_0-2)^3=13x_0-14\\ \\ x_0^3-6x_0^2+12x_0-8-13x_0+14=0\\ \\ x_0^3-6x_0^2-x_0+6=0\\ \\ x_0^2(x_0-6)-(x_0-6)=0\\ \\ (x_0-6)(x_0^2-1)=0\\ \\ (x_0-6)(x_0-1)(x_0+1)=0

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю

x_0=6\\ x_0=1\\ x_0=-1

Найдем теперь ординату точку касания

y(-1)=(-3)^4=81\\ y(1)=(1-2)^4=1\\ y(6)=(6-2)^4=256

 

Подставим координаты g(-1)=81 и g(1)=1 и g(6)=256, мы получим

g(-1)=81~~~\Rightarrow~~~ 26\cdot (-1)^2-56\cdot (-1)+16-a=81~~~\Rightarrow~~~ \boxed{a=17}\\ \\ g(1)=1~~~\Rightarrow~~~ 26\cdot 1^2-56\cdot 1+16-a=1~~~\Rightarrow~~~ \boxed{a=-15}\\ \\ g(6)=256;~~~\Rightarrow~~ 26\cdot 6^2-56\cdot 6+16-a=256~~~\Rightarrow~~\boxed{a=360}

Но при а = 360 графики пересекаются в одной точке.

То есть, при а = -15 и а = 17 данное уравнение имеет три различных корня.

Ответ: a = -15 и a = 17.

Решение задачи 18. Вариант 282: 2 комментария

  • 06.10.2019 в 12:34
    Permalink

    y(6)=(6-2)^4=16^2=256, не так? У Вас 81. ???

    Ответ
    • 06.10.2019 в 13:46
      Permalink

      Опечатка, сейчас исправим:)

      Ответ

Вопросы по решению

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить