Решение задачи 14. Вариант 282

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ=1, высота
SO=2, точка М‐середина ребра BS.
а) Докажите, что АМ параллельна FN, где N – середина ребра SE
б) Найдите расстояние от точки Е до прямой АМ

Решение

а) ​\( MN \)​ — средняя линия ​\( BES \)​, т.к M и N — середины сторон по условию

\( MN∥BE \)​, ​\( BE∥AF \)​ значит ​\( MN∥AF \)

\( MN=AF=0,5BE \)​, значит четырехугольник ​\( AMNF \)​ — параллелограмм. и значит ​\( AM∥FN \)

б) Начнем с конца:

Нам нужно найти ​\( h \)​ — высота в треугольника AEM

\( S_{AEM}=0,5AM*h \)

\( S_{AEM}=0,5*AE*sinA \)​, если найдем синус, то найдем и ​\( h \)

\( sinA=\sqrt{1-cos^2A} \)

По т косинусов ​\( cosA=\frac{AM^2+AE^2-EM^2}{2*AM*AE} \)​ , осталось только все это найти:)

\( AE=\sqrt{3} \)​  по свойству правильной шестиугольной пирамиды.

\( AO=R=1 \)

\( AS=\sqrt{4+1}=\sqrt{5} \)​ — по т Пифагора

Вспомним формулу медианы:

\( m_{c}=0,5\sqrt{2a^2+2b^2-c^2} \)

И по ней находим AM и EM —  т.к это медианы по условию

\( AM=0,5\sqrt{2AS^2+2AB^2-SB^2}=0,5*\sqrt{2*5+2-5}=\frac{\sqrt{7}}{2} \)

По аналогии

\( EM=\frac{\sqrt{13}}{2} \)

А теперь осталось найти ​\( cosA \)​ )) просто подставить

\( cosA=\frac{3}{2\sqrt{21}} \)

\( sinA=\frac{5}{2\sqrt{7}} \)

\( h=AE*sinA=\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} \)

Ответ: ​\( h=AE*sinA=\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} \)

P.S Если понравилось решение или что-то не было понятно, то пиши комментарий ниже, мне будет приятно:)​

Решение задачи 14. Вариант 282: 4 комментария

  • 15.10.2019 в 19:37
    Permalink

    А как вы находили sinA (3 строчка снизу)? Если по тригонометрическому тождеству, то у меня синус не получилось таким, как у вас(

    Ответ
    • 16.10.2019 в 11:29
      Permalink

      Получается корень из (75/84) сокращаем дробь на 3 получается корень(25/28), и получает наш ответ, представляя 28-7*4

      Ответ
      • 16.10.2019 в 18:02
        Permalink

        Спасибо огромное, забыл на 3 сократить)) А так все понятно и доступно, круто

        Ответ
        • 16.10.2019 в 18:08
          Permalink

          Не за что:)) Рад, что помог.

          Ответ

Вопросы по решению

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить