Решение задачи 13. Вариант 277

а) Решите уравнение ​\( sin^4x+cos^4x=0,625 \)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ​\( [-0,75 \pi;-0,25 \pi] \)

Решение

\( sin^2x+cos^2x=1 \)​ — это вы все знаете:)

Возведем обе части в квадрат

\( (sin^2x+cos^2x)^2=1 \)

\( sin^4x+2sin^2x*cos^2x+cos^4x=1 \)

Исходя из условия получаем, что

\( 2sin^2x*cos^2x=0,375 \)

\( 0,5*(2sinx*cosx)^2=0,375 \)

\( sin^22x=\frac{3}{4} \)

 

\( sin2x=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( sin2x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \)

 

\( 2x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \)

\( 2x=\frac{2 \pi}{3}+2 \pi n \)

 

\( 2x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi n \)

\( 2x=-\frac{2 \pi}{3}+2 \pi n \)

 

\( x=\frac{\pi}{6}+\pi n \)

\( x=\frac{ \pi}{3}+ \pi n \)

 

\( x=-\frac{\pi}{6}+ \pi n \)

\( x=-\frac{ \pi}{3}+ \pi n \)

 

Получаем, ​\( x=±\frac{\pi}{6}+\pi n \)​ и ​\( x=±\frac{\pi}{3}+\pi n \)

Б) легко отобрать с помощью окружности

\( x=-\frac{2 \pi}{3},-\frac{\pi}{3} \)

Ответ: а)  ​\( x=±\frac{\pi}{6}+\pi n \)​ и ​\( x=±\frac{\pi}{3}+\pi n \)​ б) ​\( x=-\frac{2 \pi}{3},-\frac{\pi}{3} \)

Вопросы по решению

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить