Решение задачи 13. Вариант 276

а) Решите уравнение ​\( \sqrt{1+cos4x}sinx=2sin\frac{\pi}{4} \)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3,5π;-π]

Решение

\( \sqrt{1+cos4x}=\frac{\sqrt{2}}{sinx} \)

ОДЗ:

\( \frac{\sqrt{2}}{sinx}>0 \)​ или ​\( sinx>0 \)

Решаем само уравнение, возведем все в квадрат

\( 1+cos4x=\frac{2}{sin^2x} \)

\( sin^2x+sin^2x*cos4x=2 \)

так как, ​\( sin^2x∈[0;1] \)​, ​\( cos4x∈[-1;1] \)

То получаем, что

\( sin^2x=1 \)

\( cos4x=1 \)

 

\( x=±\frac{\pi}{2}+\pi n \)

\( x=\frac{\pi n}{2} \)

Вспоминаем про наше ограничение \( sinx>0 \)

Значит ​\( x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n \)

Б) Легко отобрать с помощью окружности

\( x=-\frac{7\pi}{2},-\frac{3\pi}{2} \)

Ответ: а) \( x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n \)​, Б) ​\( x=-\frac{7\pi}{2},-\frac{3\pi}{2} \)

Вопросы по решению

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить